0x010088F6312065A70A44B630A6848498EAD80093CFEAFE161DC94D83C7C5C9A5A748B8

This is a PhD level course in harmonic analysis. In this year's edition, we treated the major results of one variable real harmonic analysis (the maximal function, the Poisson kernel, subharmonic functions, the Hilbert transform, Ap-weights, convergence of Fourier series, bounded mean oscillation), and a thorough treatment of analytic Hardy spaces. The course was based on lectures, with some problem solving sessions.

From feedback that I collected, the students were quite happy with the lectures. However, students at both the PhD and Master's level thought that the scope of the course was too large, and found the material to be challenging. The exercises (set from Muscalu&amp;Schlag and Garnett) were also very difficult, and this was apparent in the problem solving sessions. From the oral exams, I found that especially the PhD students had learned a lot and mastered some new techniques, but overall the course was probably too challenging.

NTNU:TIA:REST

Institutt for matematiske fag

Department of Mathematical Sciences

Ingen hjelpemidler tillatt.

Link til informasjon om emnet

Faglig innhold

Emnet foreleses hvert annet år, neste gang våren 2022 forutsatt at nok studenter melder seg. Dersom det melder seg få studenter, vil kurset kun gis som ledet selvstudium. Kurset behandler sentrale begreper og resultater fra moderne harmonisk analyse, som omfatter ulike videreutviklinger av Fourieranalysen. Et aktuelt tema kan være harmonisk analyse knyttet til studiet an singulære integraler og komplekse og reelle metoder. Noen nøkkelbegreper er: maksimal-funksjoner, Calderon-Zygmund-dekomposisjoner, Hilbert-transformen, Littlewood-Paley-teori, Hardy-rom, Carleson-mål, Cauchy-integraler, singulære integraloperatorer. En annen mer abstrakt retning innen harmonisk analyse består i en generalisering av klassisk Fourieranalyse fra enhetssirkelen til lokalkompakte abelske grupper. Nøkkelbegreper i denne generaliseringen er: Haarmålet, konvolusjon, den duale gruppen og Fouriertransformen, positiv-definitte funksjoner, inversjonsteoremet, Plancherels teorem, Pontryagins dualitetsteorem, og Bohr-kompaktifiseringen. 

Kursmateriell

Læringsutbytte

1. Kunnskap. Kurset behandler sentrale begreper og resultater fra moderne harmonisk analyse, som omfatter ulike videreutviklinger av Fourieranalysen. Et aktuelt tema kan være harmonisk analyse knyttet til studiet an singulære integraler og komplekse og reelle metoder. Noen nøkkelbegreper er: maksimal-funksjoner, Calderon-Zygmund-dekomposisjoner, Hilbert-transformen, Littlewood-Paley-teori, Hardy-rom, Carleson-mål, Cauchy-integraler, singulære integraloperatorer. En annen mer abstrakt retning innen harmonisk analyse består i en generalisering av klassisk Fourieranalyse fra enhetssirkelen til lokalkompakte abelske grupper. Nøkkelbegreper i denne generaliseringen er: Haarmålet, konvolusjon, den duale gruppen og Fouriertransformen, positiv-definitte funksjoner, inversjonsteoremet, Plancherels teorem, Pontryagins dualitetsteorem og Bohr-kompaktifiseringen. 2. Ferdigheter. Studentene kjenner grunnlaget for moderne harmonisk analyse og er i stand til å anvende dens metoder på tilhørende områder innen matematikk. 3. Kompetanse. Studentene er i stand til å delta i vitenskapelige diskusjoner og utføre forskning på høyt internasjonalt nivå i moderne og klassisk harmonisk analyse samt dens anvendelser. 

Læringsformer og aktiviteter

Forelesninger, eventuelt som ledet selvstudium.

Harmonisk analyse

Matematikk

Matematiske fag - doktorgrad (ph.d.)

Web/Lists(guid'8b698a2d-6ad0-4f7d-b3be-219cc1979f02')/Items(17199)/FieldValuesAsText

The problems in Spring 2022 were set from Muscalu&Schlag and Garnett, and were so difficult that many students had no real benefit from the problem sessions. I would suggest to find a resource for easier exercises, include more problem sessions, and cut some of the content in the course.

Tiltak

Create or find easier exercises

This is a general introduction in some of the principles and themes underlying harmonic analysis. As references we used the compendium by Barry Simon on Analysis.

The covered topics were close to the ones from previous years (Caderon-Zygmund operators, weak-type estimates, Marcinkiewicz's theorem) and we also discussed the basics of the theory of locally compact abelian groups and proved Pontragijn's duality theorem.

Chalk talks in class until we shifted to online teaching due to the pandemic. Each student got a topic assigned on which he wrote a short report.

Oral exam. Half of the examination was based on a presentation of the report on the assigned topic and the second half was concerning questions of the syllabus.

Emnet foreleses hvert annet år, neste gang våren 2020 forutsatt at nok studenter melder seg. Dersom det melder seg  få studenter, vil kurset kun gis som ledet selvstudium.
Kurset behandler sentrale begreper og resultater fra moderne harmonisk analyse, som omfatter ulike videreutviklinger av Fourieranalysen.  Et aktuelt tema kan være harmonisk analyse knyttet til studiet an singulære integraler og komplekse og reelle metoder.  Noen nøkkelbegreper er: maksimal-funksjoner, Calderon-Zygmund-dekomposisjoner, Hilbert-transformen, Littlewood-Paley-teori, Hardy-rom, Carleson-mål, Cauchy-integraler, singulære integraloperatorer.  En annen mer abstrakt retning innen harmonisk analyse består i en generalisering av klassisk Fourieranalyse fra enhetssirkelen til lokalkompakte abelske grupper.  Nøkkelbegreper i denne generaliseringen er:  Haarmålet, konvolusjon, den duale gruppen og Fouriertransformen, positiv-definitte funksjoner, inversjonsteoremet, Plancherels teorem, Pontryagins dualitetsteorem, og Bohr-kompaktifiseringen.

1. Kunnskap. 
Kurset behandler sentrale begreper og resultater fra moderne harmonisk analyse, som omfatter ulike videreutviklinger av Fourieranalysen. Et aktuelt tema kan være harmonisk analyse knyttet til studiet an singulære integraler og komplekse og reelle metoder. Noen nøkkelbegreper er: maksimal-funksjoner, Calderon-Zygmund-dekomposisjoner, Hilbert-transformen, Littlewood-Paley-teori, Hardy-rom, Carleson-mål, Cauchy-integraler, singulære integraloperatorer. En annen mer abstrakt retning innen harmonisk analyse består i en generalisering av klassisk Fourieranalyse fra enhetssirkelen til lokalkompakte abelske grupper. Nøkkelbegreper i denne generaliseringen er: Haarmålet, konvolusjon, den duale gruppen og Fouriertransformen, positiv-definitte funksjoner, inversjonsteoremet, Plancherels teorem, Pontryagins dualitetsteorem og Bohr-kompaktifiseringen.

2. Ferdigheter.
Studentene kjenner grunnlaget for moderne harmonisk analyse og er i stand til å anvende dens metoder på tilhørende områder innen matematikk.

3. Kompetanse.
Studentene er i stand til å delta i vitenskapelige diskusjoner og utføre forskning på høyt internasjonalt nivå i moderne og klassisk harmonisk analyse samt dens anvendelser. 


Web/Lists(guid'8b698a2d-6ad0-4f7d-b3be-219cc1979f02')/Items(4927)/FieldValuesAsText

Harmonisk analyse - MA8106